はじめに：「分散」がわからず困っていませんか？
「分散」と聞いて、何となく“ばらつき”のことだとは分かっても、
「実際にどう使うのか？」「母分散と標本分散の違いがわからない…」
という方は多いのではないでしょうか？
この記事では、分散の意味と使い方を、具体例とともに丁寧に解説します！
QC検定2級の試験対策にも活用できるよう、ビジネス実務に即した視点でまとめました。
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1. そもそも「分散」とは？
分散は「データのばらつき具合」を示す指標
分散（variance）とは、「データが平均からどれくらい散らばっているか」を表す指標です。
つまり、「バラつきの度合い」を数字で示したものです。
例えば、ある商品の製品重量を10個測定したとしましょう。
平均値が同じでも、それぞれの測定値にバラつきがあると、品質としては安定していない印象になりますよね？
その「ばらつき」の程度を数値化したものが 分散（variance） です。
直感的なイメージ
- データが平均にギュッと集まっていれば、分散は小さくなります。
- データがバラバラで平均から離れていれば、分散は大きくなります。
2. 分散の基本的な考え方
分散のイメージ：全体のデータが平均からどれだけ離れているかを測る
分散は、各データが平均からどれくらい離れているかを表します。
数学的には、次のように計算されます。
3. 分散の計算方法（標準パターン）
基本式（標本分散の場合）
\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2\)用語の意味
- \(x_i\)：個々のデータ値
- \(\bar{x}\)：データの平均値（xバー）
- n：データの個数
- \(s^2\)：標本分散（sample variance）
つまり、「それぞれのデータと平均の差」を2乗して、全部足して、（n−1）で割ることで分散を求めます。
4. 具体的な例で計算してみよう！
例題：製品の寸法を5つ測定した場合
| 測定値（mm） |
|---|
| 10.2 |
| 9.8 |
| 10.0 |
| 10.1 |
| 9.9 |
まず、平均値を計算します。
\(\bar{x} = \frac{10.2 + 9.8 + 10.0 + 10.1 + 9.9}{5} = 10.0\)次に、各データと平均値との差を2乗して合計します：
\((10.2 – 10.0)^2 = 0.04,\quad (9.8 – 10.0)^2 = 0.04\) \((10.0 – 10.0)^2 = 0,\quad (10.1 – 10.0)^2 = 0.01,\quad (9.9 – 10.0)^2 = 0.01\)合計すると：
0.04 + 0.04 + 0 + 0.01 + 0.01 = 0.10
最後に、n−1で割って標本分散を求めます：
\(s^2 = \frac{0.10}{5 – 1} = \frac{0.10}{4} = 0.025\)つまり、この製品群の分散は0.025 mm²です。
補足：分散の単位と「標準偏差」との違い
- 分散の単位は「元の単位の2乗」になります（例：mm²、kg²など）
- 実務では「標準偏差」＝分散の平方根を使う方が分かりやすいです！
上の例だと、標準偏差は
\(s = \sqrt{0.025} ≒ 0.1581\)という形になります。
5. 「母分散」と「標本分散」の違いとは？
母分散（σ²）とは？
母集団（全体）の分散。
→ 全数のデータがあるときに使います。
\(\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i – \mu)^2\)事例：
- 工場で全数検査して、すべての製品の寸法を把握しているとき。
- データの全体（母集団）をすべて持っているとき。
標本分散（s²）とは？
母集団の一部＝サンプル（標本）だけを使って計算した推定値。
→ 普段の測定やQCでは、こちらが基本！
\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2\)事例：
- 工場で1000個の中から50個だけ抜き取って検査して平均やばらつきを推定する。
- アンケート調査で、一部の人の意見から全体を推測したいとき。
なぜ「n-1」で割るのか？
標本は母集団の一部なので、平均が母集団の真の平均からズレている可能性があります。
このズレを補正するために、あえて「n−1」で割って、バラつきを少し大きく見積もるのです。
これを「不偏分散（ふへんぶんさん）」とも言います。
→ 標本平均を使って計算することで、1つ自由度を使ってしまっているため、ばらつきを正確に見積もるには「n−1」で割る必要があります。これは統計学の世界ではとても重要な考え方です！
標本から母分散を推定するときは、少し大きめに見積もる補正が必要です。
そのため、割る数を1つ減らして「n−1」にするのです（不偏分散の考え方）。
分散の公式と計算ステップ
母分散の公式（全体のデータが分かっているとき）
\(\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i – \mu)^2\)- \(x_i\)：各データ
- \(\mu\)：平均（期待値）
- n：データの数
標本分散の公式（一部サンプルだけ使うとき）
\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2\)- \(\bar{x}\)：標本平均
- n-1 で割る理由は、「小さめに出るバイアス（偏り）」を補正するためです。
分散の意味
分散というのは、平均から離れている度合いの指標です。
でも単位が「点数の2乗（点²）」になってしまうので、
現実的にはこの「分散」の平方根をとった標準偏差（σ）をよく使います。
6. 母分散と標本分散の使い分け
| 状況 | 使用する分散 | 割り方 | 使用例 |
|---|---|---|---|
| 全データ（母集団）が揃っている | 母分散（σ²） | nで割る | 工場の全製品寸法を測定したとき |
| 一部サンプルのみ（標本） | 標本分散（s²） | n−1で割る | 抜き取り検査や調査のとき |
分散の具体例①（母分散を使う）
例題：次のテスト点数（5人分）の分散を求めてください
【データ】60点、70点、80点、90点、100点
ステップ①：平均（期待値）を求める
\(\mu = \frac{60 + 70 + 80 + 90 + 100}{5} = \frac{400}{5} = 80\)ステップ②：「各値 − 平均」を計算
| データ x_i | 差 x_i – \mu | 2乗 (x_i – \mu)^2 |
|---|---|---|
| 60 | -20 | 400 |
| 70 | -10 | 100 |
| 80 | 0 | 0 |
| 90 | +10 | 100 |
| 100 | +20 | 400 |
ステップ③：「差の2乗」の平均を求める（母分散）
\(\sigma^2 = \frac{400 + 100 + 0 + 100 + 400}{5} = \frac{1000}{5} = 200\)ステップ④：結果（母分散）
\(\boxed{200}\)分散の具体例②（標本分散を使う）
例題：次の代表5人の身長から分散を求めてください
5人の身長のデータ（単位：cm）
168, 170, 172, 169, 171
ステップ①： 平均\(（\bar{x}）\)を求める
\(\bar{x} = \frac{168 + 170 + 172 + 169 + 171}{5} = 170\)ステップ②： 偏差を求める（各データ − 平均）
- 168 − 170 = −2
- 170 − 170 = 0
- 172 − 170 = +2
- 169 − 170 = −1
- 171 − 170 = +1
ステップ③： 偏差の2乗を求める
- (−2)² = 4
- (0)² = 0
- (+2)² = 4
- (−1)² = 1
- (+1)² = 1
合計：4 + 0 + 4 + 1 + 1 = 10
ステップ④： 標本分散を求める（n−1 = 4 で割る）
\(s^2 = \frac{10}{4} = 2.5\)7. ビジネス現場での「分散」の活用法
QC検定や品質管理におけるポイント！
- 異常値の有無や、工程の安定性を判断する基礎資料として分散が活躍！
- 製品のバラツキが小さい＝品質が安定している証拠！
使い分ける具体的な事例
| シーン | 使うべき分散 | 理由・背景 |
|---|---|---|
| 社内の全従業員100人の給料データを全件持っている | 母分散 | 母集団を全て観測しているため |
| 全国の高校生の身長を調査するため、100人を無作為に抽出 | 標本分散 | 母集団はあくまで「全国の高校生」なので、サンプルを使って推定する必要あり |
| 工場の製品1万個のうち、100個だけ測定 | 標本分散 | 全体を測れていないため、バラつきを推定する必要がある |
まとめ：分散のポイントをおさらい！
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 分散とは | 平均からのデータのばらつきを数値化したもの |
| 標本分散の式 | \(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum(x_i – \bar{x})^2\) |
| 母分散の式 | \(\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum(x_i – \mu)^2\) |
| 違い | 標本分散は「n−1」で割る。不偏推定のため |
| 単位 | 元の単位の2乗。標準偏差にすると単位が元通り |
| 活用 | 品質管理、異常検知、工程能力指数などに必須！ |
次に知っておきたい！分散からの発展
- 分散の平方根が「標準偏差」
- 分散が小さい ⇒ 工程が安定
- 工程能力指数（CpやCpk）にも分散や標準偏差が関係！
次回の記事予告
次回は、この分散も出てくる「基本統計量」について、詳しく解説していきます！
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