はじめに:数字の世界にもルールがある!
統計や確率を学んでいると、必ず出てくるのが「正規分布」や「標準化」という言葉。特にビジネス実務法務検定や品質管理検定(QC検定)などの受験者にとっては、避けては通れない分野です。
しかし、
「公式は知ってるけど、意味がよくわからない…」
「なぜ平均や分散をいじると標準化できるの?」
こんな悩みをお持ちの方、多いのではないでしょうか?
今回は、そんな確率分布の基本を、変数変換や合成正規分布の考え方とあわせて徹底的に解説します!
1. 正規分布と標準化とは?基本のキからおさらい!
◆ 正規分布とは?
正規分布とは、平均値を中心にして、左右対称に広がる山型の分布のことです。
例えば「身長」や「テストの点数」など、多くの自然現象はこの形に近い分布になります。
具体的にはこう表されます:
X ~ N(μ, σ^2)
- μ:平均値
- σ^2:分散(データのばらつき)
◆ 標準正規分布とは?
平均が 0、分散が 1 の正規分布のことを特別に「標準正規分布」と呼びます:
Z ~ N(0, 1)
標準正規分布に変換することで、確率や統計表が使いやすくなるのです!
2. 【例題】変数変換で標準化する方法
まず、以下のような問題を考えてみましょう。
確率変数 X は正規分布 N(10.0, 0.2^2) に従う。変数変換 Z = A X – B によって、標準正規分布 N(0,1) に従うようにしたい。このとき A, B の値は?
● 標準化の公式はこれ!
Z = (X – μ)/σ
今回の X は
- 平均 μ = 10.0
- 標準偏差 σ = 0.2
だから、
Z = (X – 10.0)/(0.2) = (1/0.2)X – (10.0/0.2) = 5X – 50
つまり、変数変換の形 Z = AX – B に合わせると:
- A = 5
- B = 50
ポイント整理!
記号 | 意味 | 値 |
---|---|---|
A | Xにかける係数 | 5 |
B | 引き算する値 | 50 |
正規分布を標準化する=「5倍して50引く」ことだったんですね!
3. 【応用】複数の正規分布の和も正規分布になる!
ここからが一歩踏み込んだ応用編です。
確率変数 X_1, X_2, X_3 がすべて独立に正規分布 N(10.0, 0.2^2) に従うとします。このとき:
① X_1 + X_2 + X_3
② 2X_1 + X_2
はそれぞれ、どんな正規分布に従うでしょうか?
◆ ① 和 X_1 + X_2 + X_3 の分布
▼ 平均値:
E[X_1 + X_2 + X_3] = 10.0 + 10.0 + 10.0 = 30.0
▼ 分散:
Var[X_1 + X_2 + X_3] = 0.04 + 0.04 + 0.04 = 0.12
⇒ X_1 + X_2 + X_3 ~ N(30.0, 0.12)
◆ ② 和 2X_1 + X_2 の分布
▼ 平均値:
E[2X_1 + X_2] = 2 × 10.0 + 10.0 = 30.0
▼ 分散(係数の2乗を忘れずに!):
Var[2X_1 + X_2] = 4 × 0.04 + 1 × 0.04 = 0.20
⇒ 2X_1 + X_2 ~ N(30.0, 0.20)
4. 合成正規分布のまとめ表
合成式 | 平均 | 分散 | 結果 |
---|---|---|---|
X_1 + X_2 + X_3 | 30.0 | 0.12 | N(30.0, 0.12) |
2X_1 + X_2 | 30.0 | 0.20 | N(30.0, 0.20) |
・正規分布同士の和は、また正規分布になる(ただし、独立が条件)
・和の平均は足すだけ
・和の分散は、係数の2乗をかけて足す
5. 実務でどう活かす?管理職に求められる「数字の感覚」
これらの知識は、単なる数学の知識にとどまりません!
たとえば:
- 工場の製品検査におけるばらつき評価
- プロジェクト見積の信頼区間
- 品質保証における合格判定
- 経営指標の予測やシミュレーション
こうした場面で「平均」や「分散」を根拠にした判断が求められます。つまり、正規分布と変数変換を理解することは、管理職に必須のスキルなんです!
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7. おわりに:数式が「現場の武器」になる瞬間を!
数字や統計は、机上の理論だけでは意味がありません。
「何が平均なのか?」「どのくらいばらつくのか?」
これを感覚的に理解できる人こそ、信頼される管理職・リーダーです!
正規分布と変数変換の知識を、あなたの現場力に変えていきましょう!
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