【QC検定2級】正規分布と変数変換を完全理解!これで確率分布の苦手を克服しよう!

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はじめに:数字の世界にもルールがある!

統計や確率を学んでいると、必ず出てくるのが「正規分布」や「標準化」という言葉。特にビジネス実務法務検定や品質管理検定(QC検定)などの受験者にとっては、避けては通れない分野です。

しかし、

「公式は知ってるけど、意味がよくわからない…」

「なぜ平均や分散をいじると標準化できるの?」

こんな悩みをお持ちの方、多いのではないでしょうか?

今回は、そんな確率分布の基本を、変数変換や合成正規分布の考え方とあわせて徹底的に解説します!


1. 正規分布と標準化とは?基本のキからおさらい!

◆ 正規分布とは?

正規分布とは、平均値を中心にして、左右対称に広がる山型の分布のことです。

例えば「身長」や「テストの点数」など、多くの自然現象はこの形に近い分布になります。

具体的にはこう表されます:

X ~ N(μ, σ^2)

  • μ:平均値
  • σ^2:分散(データのばらつき)

◆ 標準正規分布とは?

平均が 0、分散が 1 の正規分布のことを特別に「標準正規分布」と呼びます:

Z ~ N(0, 1)

標準正規分布に変換することで、確率や統計表が使いやすくなるのです!


2. 【例題】変数変換で標準化する方法

まず、以下のような問題を考えてみましょう。

確率変数 X は正規分布 N(10.0, 0.2^2) に従う。変数変換 Z = A X – B によって、標準正規分布 N(0,1) に従うようにしたい。このとき A, B の値は?

● 標準化の公式はこれ!

Z = (X – μ)/σ

今回の X は

  • 平均 μ = 10.0
  • 標準偏差 σ = 0.2

だから、

Z = (X – 10.0)/(0.2) = (1/0.2)X – (10.0/0.2) = 5X – 50

つまり、変数変換の形 Z = AX – B に合わせると:

  • A = 5
  • B = 50

 ポイント整理!

記号意味
AXにかける係数5
B引き算する値50

正規分布を標準化する=「5倍して50引く」ことだったんですね!


3. 【応用】複数の正規分布の和も正規分布になる!

ここからが一歩踏み込んだ応用編です。

確率変数 X_1, X_2, X_3 がすべて独立に正規分布 N(10.0, 0.2^2) に従うとします。このとき:

① X_1 + X_2 + X_3

② 2X_1 + X_2

はそれぞれ、どんな正規分布に従うでしょうか?


◆ ① 和 X_1 + X_2 + X_3 の分布

▼ 平均値:

E[X_1 + X_2 + X_3] = 10.0 + 10.0 + 10.0 = 30.0

▼ 分散:

Var[X_1 + X_2 + X_3] = 0.04 + 0.04 + 0.04 = 0.12

⇒ X_1 + X_2 + X_3 ~ N(30.0, 0.12)


◆ ② 和 2X_1 + X_2 の分布

▼ 平均値:

E[2X_1 + X_2] = 2 × 10.0 + 10.0 = 30.0

▼ 分散(係数の2乗を忘れずに!):

Var[2X_1 + X_2] = 4 × 0.04 + 1 × 0.04 = 0.20

⇒ 2X_1 + X_2 ~ N(30.0, 0.20)


4. 合成正規分布のまとめ表

合成式平均分散結果
X_1 + X_2 + X_330.00.12N(30.0, 0.12)
2X_1 + X_230.00.20N(30.0, 0.20)

・正規分布同士の和は、また正規分布になる(ただし、独立が条件)

・和の平均は足すだけ

・和の分散は、係数の2乗をかけて足す


5. 実務でどう活かす?管理職に求められる「数字の感覚」

これらの知識は、単なる数学の知識にとどまりません!

たとえば:

  • 工場の製品検査におけるばらつき評価
  • プロジェクト見積の信頼区間
  • 品質保証における合格判定
  • 経営指標の予測やシミュレーション

こうした場面で「平均」や「分散」を根拠にした判断が求められます。つまり、正規分布と変数変換を理解することは、管理職に必須のスキルなんです!


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7. おわりに:数式が「現場の武器」になる瞬間を!

数字や統計は、机上の理論だけでは意味がありません。

「何が平均なのか?」「どのくらいばらつくのか?」

これを感覚的に理解できる人こそ、信頼される管理職・リーダーです!

正規分布と変数変換の知識を、あなたの現場力に変えていきましょう!

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